Jerzy Kosek

Paradoksy czasu i przestrzeni

według teorii względności Einsteina

cz. III

Lot do gwiazd

 

Cz. I

Wstęp. Paradoks czasu. Ustalamy układy współrzędnych. Powtórka „z Einsteina” – jak mierzymy odległość i czas? Czas nie płynie jednakowo. Rozwiązanie paradoksu zegarów. Interwał w czasoprzestrzeni.

Cz. II

Paradoks długości. Czy długość ciał nie jest wielkością absolutną? Rozwiązanie paradoksu długości.

Cz. III

Lot do gwiazd.

 

 

12. Podróż do odległych planet i gwiazd[1].

 

Wiemy, że żaden pojazd nie może przekroczyć prędkości światła. Czyżby więc niemożliwe było dotarcie do odległych planet czy gwiazd? Przeanalizujmy to dokładnie na przykładzie.

 

 

 

Rys. 12. Lot do Planety odległej od Ziemi o około 1000 lat świetlnych.

Czy uda się tę odległość pokonać w ciągu ludzkiego życia?

 

Z Ziemi startuje rakieta z misją dotarcia do Planety odległej o około 1000 lat świetlnych (według pomiarów astronomów ziemskich). Rakieta rozpędzi się początkowo z przyspieszeniem a=g≈10m/s2 do prędkości v=0.9995*c, następnie będzie poruszać się ruchem jednostajnym przez 1000 lat, a następnie będzie hamować z opóźnieniem a≈10m/s2, by wylądować na Planecie. Przyspieszenie  i opóźnienie a określone jest względem Ziemi[2]. Czy kosmonauci mogą dotrzeć do cel podczas swojego życia?

 

Rozwiązanie.

I). Odległość przebyta przez rakietę według układu ziemskiego:

v1

 
 

gdzie:

t1 – czas rozpędzania i hamowania

t2 – czas lotu z  prędkością v1 = a*t1

 

t1 – czas rozpędzania i hamowania

t2 – czas lotu z  prędkością v1 = a*t1

 

Podstawiając dane otrzymamy dystans pokonany przez rakietę. Pozostawiamy to jako zadanie dla zainteresowanych.

 

II). Czas lotu przyspieszonego (i opóźnionego)

a). według Ziemian czas t1 potrzebny do rozpędzenia rakiety do prędkości v=0.9995*c z przyspieszeniem a=10m/s2  wyliczymy ze wzoru[3]:

b). według kosmonautów czas t1 potrzebny do rozpędzenia rakiety do prędkości v=0.9995*c będzie mniejszy niż czas, jaki upłynął na Ziemi – ze względu na fakt, że zawsze czas własny jest mniejszy niż czas zjawiska obserwowanego „z zewnątrz”: t1’ < t 1 < 1rok

 

Dokładne obliczenie wymaga zauważenia, że prędkość rakiety v zmienia się, a więc gdy rakieta ma prędkość chwilową v=a*t i gdy na Ziemi upłynie krótki odcinek czasu dti, to w rakiecie upłynie czas:

 

 

Całkowity czas t1 jest sumą czasów dti = δ,  i=1,n    na jakie podzielimy dzieje lotu ( odcinki czasu dti trzeba dobrać tak, by w czasie dti prędkość była prawie stała): [4]

 [[5]]        gdzie     

Ponieważ dla każdego i mamy dti’ < dt i , to także t1’ < t 1 [6] .

Z obliczeń wynika, że w rakiecie podczas przyspieszania i hamowania upłynie czas t1’≈0.5 roku

 

III). Czas lotu ruchem jednostajnym

a). według Ziemian czas t2 potrzebnego lotu jednostajnego wyniesie:

t2 ≈ 1000 lat

b). według zegarów kosmonautów czas t2 lotu jednostajnego jest czasem własnym trwania zjawiska i będzie mniejszy niż czas lotu zmierzony przez Ziemian:

                                                                        

Według kosmonautów rakieta ma do przebycia dystans skrócony względem tego, co mierzy się z Ziemi, gdyż układ Ziemia-Planeta porusza się względem rakiety:

Rakieta zużyje na to czas t2’ = l(v)/v = lo/v *0.0316

Ponieważ lo/v = t2 – czas przelotu tego dystansu według Ziemian, to otrzymamy:

t2’ =  t2*0.0316 = 1000lat*0.0316 = 31.6lat

 

Odpowiedź:

Podczas lotu upłynie czas:

a). według zegarów ziemskich tcałk=1002lata.

b). według zegarów rakiety t’całk=0.5lat+31.6lat+0.5lat=32.6lat.

 

Stwierdzamy, że „podróż w czasie” jest rzeczywiście możliwa, gdyż:

a). czas w pędzącym pojeździe płynie γ(v) razy wolniej niż na Ziemi (według obserwatorów ziemskich)

b). odległość do pokonania skraca się γ(v) razy dla obserwatora rozpędzającego się wobec obiektu, do którego ma dotrzeć (według kosmonautów)

 

Pytanie: Czy słuszna jest opinia, że efekt „podróży w czasie” rakiety związany jest wyłącznie z ruchem przyspieszonym, a zysk w upływie czasu podczas ruchu jednostajnego jest pozorny – ze względu na symetrię układów inercjalnych? Znajdź rozwiązanie obliczając czasy lotu z przyspieszeniem a=10m/s2 przez około 1 rok do prędkości v=0.9995*c, biorąc pod uwagę lot jednostajny przez: 1rok, 10lat, 100lat, 1000lat. Zestaw w tabeli zależności tcałk-t’całk od t2. Wyciągnij wnioski.

 

Odpowiedź:

tcałk = 2* t1+ t2= 2*1rokt+ t2 = 2lata + t2

tcałk’ = 2* t1’+ t2’= 2*0.5lat+ t2’ = 1rok + t2’ = 1rok + t2*0.0316

gdyż

Podstawiając dane otrzymamy wyniki, zebrane w tabeli 1

 

Tabela 1

 

czas przyspieszania

t1 [w latach]

czas lotu jednostajnego

t2 [w latach]

czas całkowity lotu wg Ziemian

tcałk [w latach]

czas całkowity lotu wg Kosmonautów

t’całk [w latach]

Zysk czasu tcałk- t’całk

[w latach]

1

0

2

1

1

1

1

3

1.03

2

1

10

12

1.31

10.7

1

100

102

4.16

97.8

1

1000

1002

32.6

969.4

 

Wniosek: Podczas lotu zysk czasu jest tym większy, im dłużej trwa lot jednostajny; zysk czasu podczas lotu jednostajnego jest więc efektem rzeczywistym, a nie pozornym.

 

13. Zadanie.

A. Dwa statki kosmiczne poruszają się naprzeciw siebie z prędkościami równymi 0.8 *c, mierzonymi przez ziemskich astronomów. Statki odległe są od siebie o 3 lata świetlne według układu ziemskiego. Oblicz

a). jaka odległość dzieli statki według ich pomiarów odległości

b). ile czasu będzie trwał lot statków do ich spotkania się według zegarów ziemskich i kosmonautów.

Wskazówka: Wyznacz najpierw względną prędkość statków.

B*. Wykonaj obliczenia czasu lotu z przyspieszeniem a=10m/s2 według zegara kosmonauty, gdy według zegarów ziemskich lot trwał 2 990 000 sekund.

 

14. Podsumowanie.

 

Teoria względności przewidziała niezwykłe własności czasu i przestrzeni, stojące w sprzeczności z powszechnym wyobrażeniem i z klasyczną fizyką. Te niezwykłe własności czasu i przestrzeni wynikają z doświadczalnie potwierdzonego faktu, iż prędkość światła jest identyczna wobec każdego obserwatora. Trudności ze zrozumieniem rewolucji myślowej Einsteina prowadziły w przeszłości do formułowania tzw. paradoksów. Jednak eksperymenty pokazały słuszność przewidywań tej jednej z najpiękniejszych teorii fizycznych. Dzięki temu odsłoniło się nam zaskakujące, intelektualne piękno świata, w którym żyjemy.

 

Cz. I  – Paradoksy czasu

Cz. II – Paradoks długości

 



[1] Ciekawie pisze na ten temat I. Nowikow, Rzeka czasu, Warszawa 1998, s. 89-96.

[2] Rakieta musiałaby poruszać się z coraz to większym przyspieszeniem względem chwilowego układu odniesienia związanego z rakietą, aby zapewnić stałe przyspieszenie względem Ziemi.

[3] Przyspieszenie z punktu widzenia układu inercjalnego jest stałe, ale w układzie rakiety przyspieszenie byłoby wzrastające. Nie należy sądzić, że w ten sposób można uzyskać prędkość większą od prędkości światła: utrzymanie stałego przyspieszenia wymagałoby działania siły ciągu rakiety rosnącej do nieskończoności zanim rakieta osiągnie prędkość c, a więc nie byłoby możliwe przekroczenie prędkości światła.

[4] Por. np. Encyklopedia szkolna. Fizyka z astronomią, Warszawa 2002, s.134, hasło: czas własny.

[5] Dokładniej:  (patrz np. L. D. Landau, E. M. Lifszyc, Teoria pola, Warszawa 1980, s.19)

[6] W bardziej ambitnych zespołach można dać zadanie na obliczenie czasu t1’ za pomocą np. arkusza kalkulacyjnego, przyjmując jednakowy odstęp czasu dti= δ = 100 000 s; sumując 299 odcinków czasowych obliczymy czas rozpędzania do prędkości 299 000 000 m/s, co daje v=0.9966*c (otrzymanie założonej prędkości v=0.9995*c wymagałoby skrócenia czasu dt)