Jerzy Kosek

Paradoksy czasu i przestrzeni

według teorii względności Einsteina

cz. II

Paradoks długości

 

Cz. I

Wstęp. Paradoks czasu. Ustalamy układy współrzędnych. Powtórka „z Einsteina” – jak mierzymy odległość i czas? Czas nie płynie jednakowo. Rozwiązanie paradoksu zegarów. Interwał w czasoprzestrzeni.

Cz. II

Paradoks długości. Czy długość ciał nie jest wielkością absolutną? Rozwiązanie paradoksu długości.

Cz. III

Lot do gwiazd.

 

9. Paradoks długości.

                                                                                                          

Drugi paradoks, jaki pojawił się po ogłoszeniu teorii względności związany jest z długością ciał. Na czym polega i skąd wynika ten paradoks? Rozważmy problem, na jaki natrafiła ekspedycja naukowa.

 

Dwie grupy naukowców prowadzące badania w polskich Tatrach sfilmowały przypadkowo fragmenty niezwykłego obiektu, przelatującego z ogromną prędkością w pobliżu dwóch stanowisk badawczych. Porównując klatki filmów odpowiadające wskazaniom zegarów z tej samej godziny - 14:30:00 – oceniono długość obiektu na 20 km. Na podstawie filmu obliczono też, że obiekt poruszał się z prędkością 180 000 km/s. Przelatujący astronauta nie potwierdził jednak tych pomiarów. Skąd ta rozbieżność? [1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Rys.8. Zdjęcie końca obiektu – godz. 14:30.

 

Rys.9. Zdjęcie początku obiektu wykonane w odległości 20 km dalej o godz. 14:30

 

 

 
 


                   

 

10. Czy długość ciał nie jest wielkością absolutną? [2]

 

Aby zmierzyć długość ciała poruszającego się względem obserwatora na Ziemi, obserwator musi dokonać pomiaru położenia początku i końca obiektu w tej samej chwili czasu. Jeśli obiekt jest bardzo duży, to pomiary te muszą być wykonane w tej samej chwili czasu np. przez lokalnych współpracowników, znajdujących się w pobliżu końców poruszającego się obiektu; pomiar może polegać na wykonaniu zdjęć w danej chwili czasu. 

 

Pytanie: Jakie zdarzenia mają miejsca podczas pomiaru długości ciała przez Ziemian?

Odpowiedź: W pomiarze długości mamy dwa zdarzenia:

Z1 – wykonanie zdjęcia początku obiektu kamerą na Ziemi

Z2 – wykonanie zdjęcia końca obiektu kamerą na Ziemi

 

Pytanie: Załóżmy, że pomiary wykonane przez ziemskie aparaty zarejestruje też astronauta O’, lecący w pojeździe. Jakie związki zachodzą między pomiarami zdarzeń Z1 i Z2 wykonanymi przez obserwatorów ziemskich a pomiarami astronauty  dla zdarzeń Z1 i Z2? Podaj wzory i zapisz znaczenie symboli.

Odpowiedź: Między pomiarami zachodzą związki dane przez transformacje Lorentza:

 

 

 

 


gdzie:

x1, x2 - współrzędne początku i końca pojazdu zmierzone na Ziemi – równocześnie według zegarów ziemskich

x1’, x2’– współrzędne początku  i końca pojazdu zmierzone przez astronautę 

t1’, t2’ – czasy wykonania zdjęć początku i końca pojazdu kamerą na Ziemi według zegara astronauty 

 

Rys. 10. Pomiary Ziemian i astronauty wiążą transformacje Lorentza. Pomiar długości

pojazdu przez obserwatorów na Ziemi i w pojeździe kosmicznym daje inne wyniki.

 

Pytanie: Długość pojazdu względem astronauty  O’ znajdującego się w pojeździe wynosi:

Δx0 = x2’- x1’,  gdzie Δx0 jest nazywane długością spoczynkową pojazdu

Oblicz różnicę Δx(v) = x2’-  x1’ i podstawiając t2 = t1 (dlaczego?) znajdź wzór na zależność długości pojazdu od jego prędkości. Wyciągnij wnioski.

Odpowiedź:

x2’-  x1’ = g(x2 – v*t2)  - g(x1 – v*t1) =  g[x2 – x1– v*( t2 –t1)]       

 

Ponieważ pomiar położenia początku i końca musi być wykonany jednocześnie według ziemskich zegarów, więc podstawiamy: t2 = t1

Otrzymamy:

x2’-  x1’ = g(x2 – x1)

 

Oznaczmy: Δx0 = x2’-  x1          Δx(v) = x2 -  x1

wtedy otrzymamy: Δx(v) = Δx0/ g

 

Ostatecznie otrzymamy wzór na zależność długości ciała od prędkości:

 

 

 

 


Δx(v) – długość ciała zmierzona przez obserwatora,               względem którego ciało ma prędkość v

Δx0    długość ciała zmierzona przez obserwatora,               względem którego ciało spoczywa

 

 
gdzie

 

 

 

 

 

 

Wnioski:

1). Długość ciała zależy od prędkości względem obserwatora:

im większa prędkość ciała względem obserwatora, tym krótsze będzie ciało według jego pomiarów

2). To samo ciało ma różne długości względem różnych obserwatorów, czyli długość nie jest wielkością absolutną, jak zakłada fizyka nierelatywistyczna.

 

11. Rozwiązanie paradoksu długości.

 

Wyjaśnijmy paradoks, przedstawiony na początku tego wykładu:

 

Dwie grupy naukowców prowadzące badania w polskich Tatrach sfilmowały przypadkowo fragmenty niezwykłego obiektu, przelatującego z ogromną prędkością w pobliżu dwóch stanowisk badawczych. Porównując klatki filmów odpowiadające wskazaniom zegarów z tej samej godziny - 14:30:00 – oceniono długość obiektu na 20 km. Na podstawie filmu obliczono też, że obiekt poruszał się z prędkością 180 000 km/s. Przelatujący astronauta nie potwierdził jednak tych pomiarów. Skąd ta rozbieżność?

 

Dane:                               Szukane:

V= 180 000 km/s             Δx0 – długość własna statku kosmicznego

Δx(V)=20 km                            

Rozwiązanie:

Z wzoru (2) mamy:

Δx0 = Δx(V)/√1-v2/c2

Stąd obliczymy:

√1-v2/c2   = 0,8

Δx0 = 20 km/0.8 = 25 km

Odp. Pojazd kosmiczny miał długość własną 25 km.

 

Wniosek:

Rozbieżność w wynikach pomiaru długości ciał jest naturalną własnością świata w którym żyjemy. Własność ta ujawnia się dla dużych prędkości ciał.

 

Pytanie: Astronauta nie stwierdza skrócenia swojego pojazdu, choć stwierdza to obserwator zewnętrzny. Czy nie jest to spowodowane tym, że miarki astronauty uległy w równym stopniu skróceniu jak pojazd i dlatego nie może on stwierdzić tego efektu?

Odpowiedź: Nie. Każdy obiekt ma różne długości względem różnych obserwatorów. Według innego obserwatora długość pojazdu miałaby jeszcze inną wartość. Gdy ciało ma długość spoczynkową 1m, to wobec innych obserwatorów może mieć długość 0.9m i  0.8m i  0.7m i ….itd . Długość ciała jest wielkością względną.

 

Zadanie: Określ, czy pomiar położenia początku i końca pojazdu według astronauty był jednoczesny. Wyjaśnij otrzymany wynik.

Odpowiedź: Z wzorów transformacyjnych otrzymamy

t2’-t1’ = g( t2 – v/c2*x2) - g( t1– v/c2*x1) = g[ t2 – t1– v/c2*( x2 –x1)]    

Ponieważ t2 – t1 = 0, to otrzymamy:

t2’-t1’ = –g*v/c2*( x2 –x1)

 

Wniosek: 

Astronauta stwierdzi, że zdjęcia początku i końca jego pojazdu wykonano niejednocześnie: najpierw wykonano zdjęcie początku, potem końca. Astronauta nie znający teorii względności a znający tylko fizykę Newtona mógłby sądzić, że wynik pomiaru długości jego pojazdu przez Ziemian jest spowodowany wyłącznie niejednoczesnym pomiarem położeń początku i końca. Jednak rzeczywista przyczyna różnic w pomiarach jest głębsza: klasyczne fizyka przestaje być słuszna dla dużych prędkości, w ogólności obowiązują zasady nowej fizyki Einsteina[3], z których wynika na przykład, że długość ciał zależy od obserwatora.

 

Zadanie[4]: Przyporządkuj wektory prędkości do pojazdów przelatujących na tle galaktyki M-31 w Andromedzie wiedząc, że ich długości własne są jednakowe.

 

 

Rys. 11. Galaktyka M 31 w Andromedzie – zdjęcie z Ziemi.

 

 

Zadanie:

a). Galaktyka M-31 w Andromedzie „oglądana” z protonu przelatującego z prędkości V=0.9995*c ma wymiary mniejsze niż jej rozmiary widziane z Ziemi. Zakładając, że M-31 jest praktycznie w spoczynku względem Ziemi oblicz ile razy wymiar M-31 w układzie spoczynkowym protonu jest mniejszy niż w układzie spoczynkowym względem Ziemi[5].

b). Dobierz wielkość zdjęcia M-31, by pokazać rozmiary galaktyki w układzie spoczynkowym proton[6]

 

Cz. I   – Paradoksy czasu

Cz. II  – Paradoks długości

Cz. III – Lot do gwiazd - góra

 

 

Foto 3. Galaktyka M 31 w Andromedzie – rozmiary według obserwatora poruszającego się z dużą prędkością względem M 31

 
 



[1] Wykonanie zdjęcia tak szybko poruszającego się obiektu przedstawiałoby wielki problem techniczny, np. wymagałoby użycia superszybkich i bardzo czułych kamer; zakładamy jednak, że jest to możliwe.

[2] Wyprowadzenie wzoru na zależność długości ciał od prędkości.

[3] Np. stałość prędkości światła, transformacje Lorenza a nie Galileusza.

[4] Odpowiedzi: Im większa prędkość pojazdu względem obserwatora, tym jest on dla niego krótszy.

[5] Rozwiązanie: Z danych wynika, że . M-31 będzie więc 30 razy skrócone a układzie protonu.

[6] Nie należy sądzić jednak, że zdjęcie M 31 wykonane z układu pędzącego z prędkością protonu byłoby podobne do tego, jakie otrzymamy w tym ćwiczeniu, bowiem wykonując zdjęcie wykorzystujemy promienie świetlne, które docierają do aparatu jednocześnie, ale które niekoniecznie wyszły z krańców obiektu w tej samej chwili – to zależy od położenia obserwatora względem fotografowanego obiektu.