Jerzy Kosek

Paradoksy czasu i przestrzeni

według teorii względności Einsteina

cz. I

Paradoksy czasu

 

Cz. I

Wstęp. Paradoks czasu. Ustalamy układy współrzędnych. Powtórka „z Einsteina” – jak mierzymy odległość i czas? Czas nie płynie jednakowo. Rozwiązanie paradoksu zegarów. Interwał w czasoprzestrzeni.

Cz. II

Paradoks długości. Czy długość ciał nie jest wielkością absolutną? Rozwiązanie paradoksu długości.

Cz. III

Lot do gwiazd.

 

1.     Wstęp.

 

W niniejszym wykładzie omówię właściwości czasu i przestrzeni, jakie odkryła teoria względności Einsteina. Gdy Albert Einstein w 1905 r. napisał artykuł do niemieckiego czasopisma naukowego, nikt nie przypuszczał, że zmieni to zasadniczo dotychczasowe wyobrażenia na temat własności czasu i przestrzeni, oparte o autorytet Galileusza i Newtona. Idee Einsteina były tak niezwykłe, że wielu fizyków długo nie mogło ich przyjąć. Do dziś toczą się jeszcze gorące dyskusje, by lepiej zrozumieć głębię myśli Einsteina, choć eksperymenty potwierdziły jej całkowitą poprawność.

W wykładzie zapoznamy się z zapowiedzianymi w tytule paradoksami, które zostały sformułowane w związku z namysłem nad teorią względności. Dzięki nim będziemy mogli odkryć niezwykłość myśli Einsteina. W dalszej części zastanowimy się nad możliwościami lotów do odległych zakątków Wszechświata.

 

2.         Paradoks czasu.

 

Na początku poznamy zdarzenie, jakie mogło mieć miejsce w naszej Galaktyce, a następnie spróbujemy dojść do rozwiązania zawartej tam zagadki. Zdarzenie to omawia niezwykłe własności czasu, ujawniające się przy dużych prędkościach.

 

W przestrzeni kosmicznej poruszają się dwie kosmiczne kolonie: „Żółta flotylla” i „Niebieska flotylla”. Kolonia „”Żółta flotylla” mija kolonię „Niebieska flotylla” z prędkością v=0.66*c. W momencie mijania się statków kosmicznych z oddziałami położniczymi tych kolonii nastąpiło zsynchronizowanie ich zegarów. Jednocześnie w każdym statku urodził się chłopiec: Niebieski Jacek w statku „Niebieskim” i Żółty Placek w statku „Żółtym”.

 

x1=0

 

t1=0

 

V

 

x1’=0

 

t1’=0

 

 

Rys. 1. W statkach „Żółty” i „Niebieski” urodzili się kosmiczni bliźniacy w momencie mijania się statków. Z tej okazji nastawiono zegary w kolonii „Niebieskiej” na czas 0, przesyłając sygnały świetlne w tył i w przód. Podobnie zrobiono w kolonii „Żółtej”. Współrzędne położenia ustawiono na 0 w obu koloniach w miejscu mijania się bliźniaków.

 

Kosmiczni bliźniacy co roku obchodzili swoje urodziny, przesyłali też sobie życzenia. Życie płynęło bez większych niespodzianek. Ale pewnego dnia Niebieski otrzymał od swoich znajomych dziwną wiadomość: w dniu gdy cała kolonia kosmiczna, w której żył Niebieski świętowała jego 40-te urodziny, przyjaciel z jego kolonii, mieszkający na Niebieskiej asteroidzie akurat był mijany przez Żółtego i zobaczył, że ten też obchodzi urodziny, ale 30-te! Powstało niemałe zamieszanie. Zagadkę rozwiązał nikomu wcześniej nieznany Albert Einstein, pracownik biura patentowego w Bernie, na planecie Ziemia, z którym nawiązano łączność[1].

 

 

 

Rys. 2. Bliźniak Żółty – mijający zegar w niebieskiej kolonii, wskazujący upływ czasu 40 lat obchodził swoje 30-te urodziny. Skąd wynikła to różnica? Jednocześnie - według zegarów „Niebieskiej flotylli” - bliźniak Niebieski obchodził 40-te urodziny.

 

 

 

Foto 1. a). Bliźniak Niebieski Jacek obchodzi z rodziną 40-te urodziny. b). Bliźniak Żółty Placek świętuje w klubie swoje 30-te urodziny: wtedy mija go przyjaciel Niebieskiego Jacka, mieszkający na asteroidzie należącej do kolonii „Niebieskiej”, którego zegar pokazuje 40 rok od urodzin Niebieskiego Jacka. Placek jest zdumiony i rozmyśla nad tym.

 

 

Aby rozwikłać przyczynę dziwnych obserwacji Jacka i Placka ustalimy najpierw układy współrzędnych, potrzebne do ścisłego opisu sytuacji, a następnie przypomnimy niezbędne wiadomości dotyczące czasu według teorii względności.

 

3.         Ustalamy układy współrzędnych.[2]

 

Z kolonią „Niebieska flotylla” zwiążemy układ współrzędnych [x,t], o początku w początku statku, którym podróżuje Niebieski Jacek. Podobnie z kolonią „Żółta flotylla”  zwiążemy układ współrzędnych [x’,t’], o początku w początku statku, którym podróżuje Żółty Placek. Czas w obu koloniach zaczynamy liczyć od momentu narodzenia się „bliźniaków”

 

4.         Powtórka „z Einsteina” – jak mierzymy odległość i czas?

 

Pytanie 1: W jaki sposób wykonuje się pomiary położenia obserwowanych zdarzeń? 

Odpowiedź: W danym układzie odniesienia wykonujemy pomiary odległości między ciałami np. za pomocą sztywnych prętów[3] lub innymi metodami, np. w geodezji stosuje się skutecznie dalmierze laserowe (czyli odległość mierzymy pośrednio, mierząc czas przelotu światła do lustra umieszczonego w mierzonym punkcie i z powrotem).

 

Pytanie 2: W jaki sposób mierzymy czas zajścia zdarzeń?

Odpowiedź: Einstein podał dwie równoważne procedury określania czasu.

A). Pierwsza procedura polega na pomiarze czasu za pomocą lokalnych zegarów, tzn. znajdujących się w chwili zajścia zdarzenia w pobliżu miejsca zajścia zdarzenia (np. jeśli układ obserwatora porusza się względem obiektu obserwowanego, to pomiaru czasu kolejnego zdarzenia mającego miejsce na tym obiekcie dokona zegar mijający ten obiekt w chwili zajścia zdarzenia)[4]. Proces synchronizacji zegarów stanowi istotny element tego fizycznie precyzyjnego sposobu pomiaru czasu.

 

B). Można też określić czas zajścia zdarzenia bez odwoływania się do lokalnych zegarów: obserwator odczytuje wskazania swojego zegara w chwili dotarcia do niego sygnału świetlnego, wyemitowanego z tego zdarzenia, i wprowadza poprawkę na czas, jakiego potrzebuje sygnał, by pokonać odległość dzielącą obserwatora od tego zdarzenia. Obliczając poprawkę zakłada się stałą prędkość światła[5]

Pytanie 3: W jaki sposób synchronizuje się zegary?

Odpowiedź: Zegary w danym układzie odniesienia muszą być zsynchronizowane np. za pomocą sygnałów radiowych, wysyłanych z zegara umieszczonego w początku układu współrzędnych (tak synchronizuje się zegary na Ziemi, jeśli chce się zapewnić dużą dokładność pomiaru czasu)[6]. Dzięki synchronizacji zegarów możemy określać kolejność czasową zdarzeń rejestrowanych przez różne zegary.

 

Pytanie 4: Na czym polegała istotna rewolucji Einsteina w podejściu do czasu?

Odpowiedź: Rewolucję stanowiło odkrycie, iż trzeba dostatecznie precyzyjnie zdefiniować pojęcie czasu[7] oraz że czas fizyczny nie jest absolutny, lecz jest związany z przekazem sygnałów świetlnych[8].

 

Pytanie 5: Jakie związki zachodzę między pomiarami czasu i współrzędnej położenia dokonanymi w dwóch różnych układach odniesienia dla tego samego zdarzenia według fizyki relatywistycznej? Jaki jest sens tych zależności?

 

 

Rys. 3. Pomiary współrzędnej położenia i czasu zajścia zdarzenia (np. przelot asteroidy koło gwiazdy) dokonane w koloniach „Niebieska” i „Żółta” według fizyki relatywistycznej wiążą transformacje Lorentza.

 

 

Odpowiedź: Zachodzą związki dane transformacją Lorentza, tj.

 


gdzie             - pomiary czasu i współrzędnej położenia otrzymane w jednym

                      układzie współrzędnych (u nas – w kolonii „Niebieskiej”)

 


                      - pomiary czasu i współrzędnej położenia otrzymane w innym układzie współrzędnych

                      (u nas – w kolonii „Żółtej”)

            v - współrzędna wektora prędkości kolonii „Żółtej” w układzie współrzędnych kolonii „Niebieskiej”

 

Transformacje Lorentza pozwalają obliczyć wyniki pomiarów współrzędnych położenia i czasu zajścia danego zdarzenia otrzymane przez obserwatora z jednego układu na wyniki, jakie otrzymaliby dla tego samego zdarzenia obserwatorzy w drugim układzie.

 

2.         Czas nie płynie jednakowo dla wszystkich [9].

 

Einstein pokazał, że czas trwania danego zjawiska nie jest wielkością absolutną, tzn. taką samą dla każdego obserwatora, lecz zależy od prędkości obiektu (w którym zachodzi zjawisko)[10] względem obserwatora.

Niech Z1 i Z2 oznaczają zdarzenia: Z1 – początek zjawiska    Z2 – koniec zjawiska

 

Pytanie 6: Jakie związki zachodzą między pomiarami zdarzeń Z1 i Z2 wykonanymi przez obserwatorów niebieskich i żółtych dla zdarzeń Z1 i Z2? Podaj wzory i zapisz znaczenie symboli.

Odpowiedź: Między pomiarami zachodzą związki dane przez transformacje Lorentza:

 

 

 

 


gdzie:

 

x1, x2  – współrzędne początku  i końca zjawiska zmierzone w układzie niebieskim

t1, t2   – czasy początku i końca zjawiska według zegarów w układzie niebieskim

 

x1’, x2’– współrzędne początku  i końca zjawiska zmierzone w układzie żółtym

t1’, t2’ – czasy początku i końca zjawiska według zegarów w układzie żółtym

 

Załóżmy, że obserwowane zjawisko jest w spoczynku względem układu niebieskiego. Długość czasu trwania zjawiska względem układu niebieskiego wynosi:

Δt0 = t2- t1,  gdzie Δt0 – tzw. czas własny trwania zjawiska (tzn. czas mierzony w układzie, względem którego zjawisko jest w spoczynku).

Długość czasu trwania zjawiska względem układu żółtego wynosi:

Δt(v) = t2’- t1’,  gdzie Δt(v) – czas trwania zjawiska mierzony w układzie, względem którego zjawisko porusza się z prędkością v (z prędkością v porusza się układ, w którym zachodzi obserwowane zjawisko)

 

Pytanie 7: Oblicz różnicę t2 t1’ i podstawiając x2=x1 (dlaczego?) znajdź wzór na zależność czasu trwania zjawiska od jego prędkości. Wyciągnij wnioski.

 

Ostatecznie otrzymaliśmy wzór:

 

 

 

 

 

 


gdzie

Δt(v) –   czas trwania zjawiska zmierzony przez obserwatora, względem którego zjawisko ma prędkość v

Δt0     czas trwania zjawiska zmierzony przez obserwatora, względem którego zjawisko spoczywa

 

 
 

 

 

 

 

 

 


Wnioski:

1). Czas trwania zjawiska zależy od prędkości względem obserwatora:

im większa prędkość zjawiska względem obserwatora, tym dłużej będzie trwało to zjawisko według pomiarów wykonanych zegarami w układzie tego obserwatora, gdyż zawsze Δt(v) > Δt0

2). To samo zjawisko ma różne czasy trwania względem różnych obserwatorów, czyli czas nie jest wielkością absolutną, jak zakłada fizyka nierelatywistyczna.

 

6. Rozwiązanie paradoksu zegarów.

 

Teraz możemy już spróbować wyjaśnić, skąd wzięły się dziwne różnice we wskazaniach zegarów dwu kosmicznych kolonii, omówione na początku lekcji.

 

Pytanie 8: Stwierdziliśmy, że gdy Żółty Placek obchodził 30-lecie, to był mijany przez Niebieską asteroidę z układu Niebieskiego Jacka, na której zegar wskazywał upływ 40-tu lat. Skąd ta różnica we wskazaniach zegarów, skoro założyliśmy, że zegary były zsynchronizowane i chodziły idealnie?

 

Odpowiedź:

Dane

Δt0 = 30 lat  czas od narodzin Żółtego Placka do momentu obchodzenia przez niego 30-tu lat mierzony przez jego zegar (Δt0 – to czas własny zjawiska)

v=0.661*c  prędkość Żółtego Placka względem niebieskiej kolonii

Szukane

Δt(v) – czas, jaki upłynął - według wskazań zegarów niebieskiej kolonii - od narodzin Żółtego Placka do momentu obchodzenia przez niego 30-tu lat

                                        

Rozwiązanie

Ze wzoru (2) mamy:

Stąd obliczymy:

Δt(v) = 30 lat / 0.75 = 40 lat

 

Widzimy, że według teorii względności czas od narodzenia Żółtego Placka do obchodzenia przez niego 30-tu lat zależy od obserwatora: zegar Żółtego Placka wskaże czas 30 lat, a zegar układu niebieskiego wskaże 40 lat.

 

Pytanie 9: Czy można powiedzieć, że czas płynie wolniej, jeśli układ porusza się?

Odpowiedź: Tak, wszystkie procesy, jak bicie serca, „tykanie” zegara, itp. zachodzą γ – razy wolniej według pomiarów obserwatora, który widzi obiekt jako poruszający się; jednocześnie obserwator nieruchomy stwierdzi, że te procesy przebiegają zwyczajnym tempem, co jest zgodne z zasadą względności.

 

Pytanie 10: Obejrzyj aplet obrazujący zjawisko zwolnienia chodu poruszającego się zegara na stronie http://www.walter-fendt.de/ph14e/timedilation.htm. Skąd wynika różnica we wskazaniach zegarów?

Odpowiedź: Patrz pytanie 9.

 

Pytanie 11: a). Jaki czas wskazywały zegary Żółtego Placka, gdy Niebieski Jacek obchodził swoje 30-te urodziny? b). Wskaż te zegary. c).Czy zachodzi tu jakaś symetria z poprzednim pomiarem?

Odpowiedź: a). Teraz Δt0 = 30 lat  jest to czas własny trwania zjawiska według Jacka;

v = 0.66*c – prędkość Niebieskiego Jacka względem Żółtego Placka[11]

Obliczając upływ czasu według zegarów Żółtego Placka otrzymamy Δt(v) = 40 lat.

b). Czas ten zmierzony zostanie przez dwa różne zegary, oddalone od siebie o Δx’=40 lat*v.

c). Widać symetrię w pomiarach czasu: według zegarów Jacka Placek miał 40 lat, choć obchodził 30-ty rok życia i odwrotnie: według zegarów Placka Jacek miał 40 lat, choć obchodził 30-ty rok życia.

 

Pytanie 12: Czy różnica w pomiarach czasu w różnych układach odniesienia nie wynika stąd, że informacja o końcu zjawiska musi dotrzeć do miejsca, gdzie był pomiar czasu początku zjawiska, a czas absolutny, taki sam na dowolnym zegarze?

Odpowiedź: Nie. Gdyby zegary układu Jacka i Placka wskazywały ten sam czas w momencie, gdy Placek był mijany przez Niebieską asteroidę, to przy założeniu absolutnego czasu różnica czasu wnosiłaby:

Δt(v) = (x2-x1)/c = v*(t2-t1)/c  = Δt0*v/c   [12] ,   

gdzie Δt0=t2-t1 – upływ czasu wskazany przez lokalne zegary obu układów;

z teorii Einsteina zaś mamy

Przyczyna różnic w pomiarach czasu jest głębsza – wynika z faktu niezmienniczości prędkości światła względem każdego inercjalnego układu odniesienia i obowiązywania zależności Lorentza między wynikami pomiarów różnych obserwatorów.

 

Pytanie 13: Ile czasu „naprawdę” żył każdy z kosmicznych bliźniaków do momentu świętowania 30-tych urodzin? 30-ci czy 40-ci lat?

Odpowiedź: Czas jest wielkością względną – zależy od obserwatora. Każdy z bliźniaków żył i 30 lat i 40 lat i….– względem różnych obserwatorów.

 

Pytanie 14: Czy można twierdzić, że „prawdziwy” czas fizyczny jest to czas własny?

Odpowiedź: Nie. Pomiar czasu zdarzeń w danym układzie odniesienia jest właściwym dla niego czasem fizycznym[13], niezależnie od ruchu obserwowanych obiektów. Pomiar czasu ma jednak charakter względny, zależny od układu obserwacji. Czas własny między narodzinami a śmiercią można nazwać czasem biologicznym życia, „długością życia”  - tak określamy potocznie czas życia organizmów na Ziemi. Ale czas mierzony przez zegary innego układy jest też „dobrym” czasem fizycznym.

 

7. Interwał czasoprzestrzenny[14].

 

a). Interwał czasoprzestrzenny Δs dzielący dwa zdarzenia określa się mierząc odległość przestrzenną zdarzeń Δx = x2-x1 i ich odległość czasową Δt=t2-t1:

Δs2  = Δt2*c2 – Δx2

b). Wartość interwału jest niezmiennikiem, tzn. każdy obserwator inercjalny zmierzy jego identyczną wartość: Δs2  = Δt2*c2 – Δx2 = … = Δt02*c2

c). Interwał między początkiem a końcem danego zjawiska jest równy czasowi własnemu trwania tego zjawiska, mnożonemu przez c: Δs = Δt0*c                                                                     

 

Dowód: [15]

 

Pytanie 15: Oblicz interwał czasoprzestrzenny dzielący zdarzenie Z1 – narodzenie Żółtego od Z2-świętowanie przez Żółtego 30-tu lat – z punktu widzenia Niebieskiego. Wykorzystaj rysunek 2.

Odpowiedź: Niebieski Jacek obliczy interwał:

Δs2  = Δt2*c2 – Δx2 = (40lat*c)2 - Δx2 = (40lat*c)2 - (40lat*v)2 = 900lat2*c2

Stąd  Δs=30lat*c.

Wniosek: Interwał czasoprzestrzenny życia Żółtego jest równy czasowi własnemu życia Żółtego *c.

 


 

 

Rys. 4. Interwał czasoprzestrzenny pozwala mierzyć i porównywać biologiczne czasy życia: mimo iż wskazania mijających się zegarów są różne, to interwał czasoprzestrzenny między narodzeniem a świętowaniem przez Żółtego 30-tu lat jest jednakowy według obu układów.

 

8. Kolejność zdarzeń jest względna.

 

Pytanie 16: Na jaką paradoksalną własność czasu wskazał Einstein w swojej pierwszej pracy dotyczącej teorii względności?

Odpowiedź: Einstein pokazał, że dwa odległe zdarzenia jednoczesne dla jednego obserwatora nie będą jednoczesne dla obserwatora, poruszającego się względem pierwszego.

 

Można pokazać, że jeżeli interwał dzielący dwa zdarzenia jest taki, że s2 < 0, to kolejność czasowa między zdarzeniami (wcześniej, później, jednocześnie) jest względna, zależna od obserwatora [16]. W naszym przykładzie według niebieskich Żółty świętuje później 30-ci lat niż Niebieski, według żółtych jest odwrotnie.

 

Rys. 5. Zdarzenia Z2, Z3 jednoczesne wg „Niebieskiej floty”, niejednoczesne wg „Żółtej floty”. Żółty jest młodszy od Niebieskiego – wg „Niebieskiej floty”. Z2: Bliźniak Żółty – mijający zegar w Niebieskiej asteroidzie, wskazujący upływ czasu 40 lat obchodzi swoje 30-te urodziny. Z3: Niebieski bliźniak obchodził 40-te urodziny.

 

 

 

Rys. 6. Symetria relacji czasowych w stosunku do rysunku 5.

Zdarzenia Z4 i Z3 są jednoczesne wg „Żółtej floty”, niejednoczesne wg „Niebieskiej floty”.

Wg „Żółtej floty” Niebieski jest młodszy od Żółtego. Z4 - bliźniak Niebieski obchodzi 30-te urodziny, gdy mija go żółta asteroida z zegarem wskazującym czas 40 lat.  Z5 - bliźniak Żółty obchodzi swoje 40-te urodziny.

 

Pytanie 17: Czy istnieje taki układ, by jednocześnie  bliźniak Niebieski obchodził 30-te urodziny i bliźniak Żółty obchodził swoje 30-te urodziny?

Odpowiedź: Tak. W tym układzie obaj bliźniacy poruszaliby się z równymi prędkościami w przeciwne strony. Interwał dzielący zdarzenia (tj. świętowanie 30-tu lat przez każdego z bliźniaków) jest ujemny, więc kolejność czasowa zdarzeń może być dowolna.

 

 

 

Rys. 7. Czy istnieje taki układ, by jednoczesne były zdarzenia Z2 i Z4?

(Z2 -bliźniak Żółty – mijający zegar w niebieskiej kolonii, wskazujący upływ czasu 40 lat  - obchodzi swoje 30-te urodziny Z4 - bliźniak Niebieski obchodzi 30-te urodziny) Tak, istnieje, bo dla s2 <0 kolejność zdarzeń jest względna.

 

Pytanie 18: Przeczytaj poniższą wypowiedź Niebieskiego i oblicz interwały, jakie są tam wymienione. Wyciągnij wnioski.

 

Niebieski zanotował w pamiętniku: Mam 40 lat. Czy Żółty obchodzi teraz 40-te urodziny? Nie! To mój zegar pokazuje 40 lat, gdy Żółty obchodzi 30-te urodziny! Czyżby Żółty był młodszy? Nie! To tylko wskazania zegara mojego zegara. Jednak 1). mamy równe interwały czasoprzestrzenne dzielące nas od narodzenia do świętowania przez nas 30-tu lat 2). według moich obserwacji to ja obchodziłem wcześniej 30-te urodziny, a według Żółtego on obchodził wcześniej 30-tkę, a według .. jest tak lub owak –kolejność zdarzeń dotyczących świętowania przez każdego z nas 30-tu lat jest względna – wskazuje na to interwał między moim a jego świętowaniem 30-tu lat.

 

Odpowiedź:

a). interwały czasoprzestrzenne od narodzenia do świętowania przez bliźniaków 30-tu lat wynoszą: Δs=30lat*c (patrz pytanie 15)

b). interwał między świętowaniem 30-tu lat każdego z bliźniaków; oznaczmy:

Z2 – świętowanie przez Żółtego 30-tu lat.

Z4 – świętowanie przez Niebieskiego 30-tu lat,

W układzie np. Niebieskiego mamy: x4=0; t4=30lat; x2=v*40lat=0.66*c*40lat=26.4*c*lat ; t2=40lat

Δs2  = Δt2*c2Δx2= (t2-t4)2*c2 – (x2-x4)2 = (40lat-30lat) 2*c2 – (26.4*c*lat)2

 = 100lat 2*c2 – 697*c2*lat2 = –597lat 2*c2

Faktycznie jest Δs2 < 0 , a więc kolejność zdarzeń Z2, Z4 nie jest absolutna[17].

 

Podsumowanie dotyczące „paradoksów czasu”:

 

1. Interwał czasoprzestrzenny między „narodzeniem” a „śmiercią” ciała lub jego czas własny życia są obiektywnymi miarami czasu życia biologicznego w sensie absolutnym: są to wielkości jednakowe dla każdego układu inercjalnego.

2. Jeśli mamy różne ciała, porusza się lub spoczywające względem obserwatora, to ciało o najdłuższym interwale lub czasie własnym między „narodzeniem” a „śmiercią” żyje biologicznie najdłużej.

3. Kolejność zdarzeń jest względna, gdy interwał jest taki, że s2 < 0, absolutna gdy s2 >0.

 

Cz. II – Paradoks długości

 



[1] Na dodatek po pewnym czasie doszła wiadomość od Żółtego Placka, który informował, że przyjaciele Żółtego Placka, mieszkający w jego rozległej kolonii, widzieli Niebieskiego Jacka świętującego 30-te urodziny dokładnie w dniu, gdy Placek obchodził swoje 40-te urodziny.

[2] Zakładam, że czytelnik zna podstawowe pojęcia dotyczącą teorii względności; jeśli nie, to polecam poprzedni wykład, gdzie wprowadzone zostały podstawowe pojęcia i założenia STW

[3] Por. A. Einstein, Istota teorii względności, Warszawa1997, s. 34

[4] Einstein czyni istotną uwagę: „Za pomocą tej procedury [tj. synchronizacji zegarów] można przypisać czas dowolnemu zdarzeniu, zachodzącemu w pobliżu jednego z zegarów. To określenie czasu odnosi się tylko do danego układu inercjalnego K, względem którego spoczywają użyte przez nas zegary. Założenie czynione w fizyce przedrelatywistycznej o absolutności czasu (tj. o niezależności czasu od wyboru układu inercjalnego) w żadnym stopniu nie wynika z powyższego określenia.” (por. A. Einstein, Istota teorii względności, Warszawa1997, s. 34)

[5] Por A. Einstein, Teoria względności i inne eseje, Warszawa 1997, s. 31.

[6] A. Einstein podaje następującą procedurę synchronizacji zegarów: „Załóżmy, że w różnych punktach K układu umieściliśmy szereg jednakowych zegarów, spoczywających względem tego układu i wyregulowanych w sposób następujący. Z zegara Um w chwili, gdy wskazuje on czas tm, zostaje wysłany promień świetlny; po przejściu w próżni odległości rnm  promień napotyka zegar Un, który nastawiamy tak, aby wskazywał w tej chwili czas tn = tm + rnm /c” (A. Einstein, Szczególna teoria względności, Warszawa 1997, s. 34..

[7] Por. Abraham Pais, Pan Bóg jest wyrafinowany. Nauka i życie Alberta Einsteina, Warszawa 2001, s. 148

[8] „Moje rozwiązanie polegało w istocie na zmianie pojęcia czasu, to znaczy przyjęciu, że czas nie jest zdefiniowany w sposób absolutny, ale istnieje nierozerwalny związek między czasem a prędkością sygnałów [świetlnych]. Takie pojmowanie czasu pozwoliło usunąć wszystkie wcześniejsze trudności” (por. Abraham Pais, Pan Bóg jest wyrafinowany…, Warszawa 2001, s. 146).

Nie da się przełamać przyzwyczajeń w pojmowaniu czasu klasycznej fizyki, jeśli nie pójdzie się tropem, odkrytym prze Einsteina: „paradoksy” dotyczące czasu pojawiają się wtedy, gdy analizuje się zjawiska, w których faktycznie zaczyna ujawniać się względność czasu (tzn. zjawiska z dużymi prędkościami), ale do których analizy podchodzi się z klasycznym sposobem definiowania czasu, a pomija się procedurę określania czasu za np. pomocą lokalnych zegarów, zsynchronizowanych z zegarem obserwatora, umieszczonego w początku układu odniesienia (a z obserwatorem tym identyfikuje się zazwyczaj analizujący problem człowiek). Klasyczna procedura określania czasu pomija problem rozchodzenia się sygnałów świetlnych jako „nośników czasu”, zakładając że czas jest dany, dobrze określony przez np. mechanizm odmierzający czas (zegar). Nie dostrzega klasyczna fizyka związku między czasem fizycznym (który występuje jako parametr w równaniach np. mechaniki czy elektrodynamiki) a sygnałami świetlnymi, elektromagnetycznymi. Teoria zaś Einsteina wręcz przeciwnie  - opiera pojęcie czasu na prawach propagacji światła, wskazując że jest to właściwy sposób na ustalenie związków czasowych między oddalonymi od siebie miejscami. Einstein pisze wręcz, że teoria względności bywa krytykowana za opieranie pojęcia czasu na prawach propagacji światła (por. A. Einstein, Istota teorii względności, Warszawa 1997, s. 43-35). To, co stanowiło istotę odkrycia Einsteina, było trudne do przyjęcia.

[9] Wyprowadzimy tu wzór na zależność długości czasu trwania danego procesu od prędkości względem obserwatora.

[10] Będziemy krótko mówić „prędkość zjawiska względem obserwatora” zamiast „prędkość obiektu, w którym zachodzi zjawisko”

[11] Ściśle „v” oznacza współrzędną wektora prędkości i trzeba by – przy ustaleniu jednakowych zwrotów osi układów współrzędnych dać v = - 0.66*c; nie ma to jednak wpływu na wynik

[12] W tej sytuacji byłoby bowiem słuszne dla dowolnych zegarów równanie x2-x1 = v*(t2-t1)

[13] tzn. czas ten jest otrzymamy za pomocą lokalnie zsynchronizowanych zegarów danego układu.

[14] Dalszą część można pominąć, choć wprowadzają w ważne pojęcie odległości czasoprzestrzennej zdarzeń i poruszają paradoks kolejności zdarzeń.

[15] Dowód słuszny jest dla ruchu jednostajnego ciała, chyba że Δt,  Δx zastąpić przez dt, dx

[16] Nie istnieje wtedy związek przyczynowy między zdarzeniami.

[17] Zdarzenie Z2 należy do tzw. obszaru teraźniejszości zdarzenia Z4 i odwrotnie.