Jerzy Kosek                                                         14.12.2004 r.

 

Pola elektryczne i magnetyczne jako przejaw jednego pola elektromagnetycznego

 

 

Według szczególnej teorii względności Einsteina pola elektryczne i magnetyczne są składowymi jednej wielkości fizycznej – antysymetrycznego tensora pola elektromagnetycznego:

, μ, ν = 1,2,3,4

 

który ma spośród 16 składowych najwyżej sześć składowych niezerowych: trzy są składowymi wektora pola elektrycznego a trzy składowymi pola magnetycznego.

 

 

Dla danego zjawiska elektromagnetycznego zawsze istnieje obserwator, względem którego składowe tego tensora, odpowiadające za natężenie pola elektrycznego są niezerowe, a składowe odpowiadające za natężenie pola magnetycznego będą się zerować. W tej sytuacji obserwator stwierdzi tylko obecność pola elektrycznego.

 Istnieć będzie też obserwator, względem którego sytuacja będzie dokładnie odwrotna: zerować się będzie natężenie pola elektrycznego, a niezerowe będzie natężenia pola magnetycznego; ten obserwator stwierdzi tylko występowanie pola magnetycznego. W ogólnym przypadku obie wielkości będą niezerowe.

W niniejszym wykładzie pokażę powyżej przytoczone wnioski szczególnej teorii względności na przykładzie zjawiska oddziaływania przewodnika z prądem na znajdującą się w jego pobliżu cząstkę naładowaną.

 

1.    Siły działające na ładunek w poruszający się w pobliżu przewodnika z prądem obliczone w układzie związanym z przewodnikiem.

 

Rozważmy prostoliniowy drut, w którym płynie prąd elektryczny o natężeniu I skierowany w lewo; prąd ten tworzą elektrony, które względem obserwatora O, nieruchomego względem drutu, poruszają się z prędkością ν w prawo. Załóżmy, że elektrony rozmieszczone są przewodniku z gęstością liniową –λ.

 

 

Jony dodatnie, tworzące przestrzenną sieć struktury przewodnika  są nieruchome względem obserwatora O i mają gęstość liniową +λ. Znak –  lub + oznacza znak ładunków. Ładunki dodanie i ujemne są rozłożone z jednakową gęstością co do wartości bezwzględnej, gdyż przewodnik jest elektrycznie obojętny. Między natężeniem prądu I a wielkościami  λ, ν  zachodzi łatwa do wyprowadzenia zależność:  

 

Załóżmy, że w odległości r od osi drutu znajduje się ujemny ładunek q, który porusza się w prawo z prędkością ν. Jaka siła działa na ładunek  q?

Z równania Ampera obliczymy indukcje pola magnetycznego:

 

 

Ponieważ I= λ*ν, więc:  

 

Siła pola magnetycznego, działająca na ładunek jest siłą Lorentza   , która jest w tym wypadku  skierowana prostopadle do drutu, w stronę drutu.

Wartość siły wynosi więc:

[1]

 
            

W wyniku działania siły magnetycznej ładunek będzie przyspieszał, zbliżając się drutu.

 

2.    Siły działające na ładunek w pobliżu przewodnika z prądem w układzie związanym z elektronami tworzącymi prąd.

 

 

Rozważmy to samo zjawisko w układzie odniesienia O’, w którym ładunek q jest początkowo w spoczynku. W tym układzie elektrony są także w spoczynku, ale ładunki dodatnie poruszają się z prędkością v jak pokazano na rys. 2.

Jaka siła działa na ładunek q w tym układzie? Skoro ładunek jest w spoczynku, to nie działa na niego siła magnetyczna, bo siła to zależy od prędkości ładunku.

Wydawać by się mogło, że ładunek ten nie może odczuwać także działania siły elektrycznej, z powodu równych gęstości dodatniego i ujemnego ładunku w drucie. Moglibyśmy wyciągnąć wniosek, że w tym układzie  q nie porusza się. Ale udowodniliśmy, że ładunek w układzie O porusza się z przyspieszeniem! Te wnioski nie mogą być jednocześnie słuszne, bo jeśli ładunek w jednym układzie zbliża się od drutu, to powinien też zbliżać się w drugim (gdyż układy poruszają się względem siebie ze stałą prędkością).

Ta sprzeczność wynika stąd, że nie uwzględniliśmy efektu skrócenia Lorentza. Jeśli założymy, że w układzie w którym drut jest w spoczynku gęstości ładunków dodatnich i ujemnych są jednakowe (drut jest elektrycznie obojętny), to tak nie będzie w układzie, gdzie elektrony są w spoczynku, a poruszają się ładunki dodatnie z prędkością - v. W tym układzie gęstość dodatnich ładunków wzrośnie do:

 

 

 

gdyż z powodu skrócenia druta ta sama ilość ładunków zajmie  mniejszą objętość - a więc gęstość wzrośnie.

Ponieważ v jest bardzo małe (elektrony poruszają się z prędkością kilku centymetrów na sekundę), możemy przybliżyć ostatni wzór wyrażeniem:

       ٭

 

Podobnie, elektrony w układzie O’ są w spoczynku, dlatego gęstość zmniejszy się do wartości

 

gdyż względem obserwatora O’ ta sama ilość ładunków będzie zajmować większą objętość niż względem obserwatora O. Stosując podobne przybliżenie otrzymamy:

Wypadkowa gęstość ładunku drutu wyniesie więc: 

Z prawa Gaussa dla pola elektrostatycznego:

 

gdzie Q – ładunek zawarty wewnątrz powierzchni zamkniętej obliczymy natężenie pola elektrycznego w odległości r od drutu:

gdzie h – długość pewnego odcinka drutu. Stąd otrzymamy:

Pole elektryczne wywiera na ładunek  q siłę o wartości:

 

Z teorii fal Maxwella wynika, że:

  

 więc otrzymamy ostatecznie wyrażenie na siłę pola elektrycznego, jaka działa na ładunek q z punktu widzenia obserwatora O’:

[2]

 
                             

 

Porównując wzory [1] i [2] stwierdzimy, że obie siły mają jednakową wartość. Obserwatorzy z dwóch układów odniesienia wyciągną wniosek, że ładunek q będzie poddany według ich przewidywań działaniu identycznej siły, przyciągającej ładunek w stronę drutu, choć jeden przyczynę ruchu nazwie siłą elektryczną a drugi siłą magnetyczną.

 

Widzimy więc, że siła opisana w tym przykładzie jest tą samą siłą elektromagnetyczną widzianą z różnych układów odniesieni; pola elektryczne i magnetyczne są przejawami niepodzielnej wielkości – pola elektromagnetycznego.

 

 

 

Bibliografia:

1.       A. Einstein, Istota teorii względności, Warszawa 1997

2.       M. Suffczyński, Elektrodynamika

3.       R. Feynman, R. Leighton, M. Sands, Feynmana wkłady z fizyki, tom II część I, str. 229 – 235

4.       Michael Fowler  University of Virginia, strona domowa: http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/home.html

5.       E. M. Purcel, Elektryczność i magnetyzm, Warszawa 1974, str. 269 – 284 (inne przykłady względności pól E i B)

6.       R. Resnick, D. Holliday,  Fizyka t2, Warszawa 1975, str. 57-68, 240 – 247, 398 – 403

7.       I. Bronstein,  K. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny matematyka, Warszawa 1959

 



٭ Z rozwinięcia odpowiednich wyrażeń w szereg Taylora w pobliżu x=0 łatwo pokazać, że słuszne są wzory: