Jerzy Kosek                                                                                                           25.01.2005r.

 


Dylemat z prędkością światła fizyki klasycznej 

i jego rozwiązanie podane przez A. Einsteina

 

Wstęp. Zadanie z asteroidą. Zadanie ze światłem. Doświadczenie przeczy klasycznemu prawu składania prędkości. Paradoksalny wniosek. Postulat Einsteina. Transformacja Galileusza. Pomiar prędkości. Wyprowadzenie klasycznego prawa składania prędkości. Niezwykle ważny wniosek dotyczący transformacji Galileusza i czasu. Nowe transformacje - transformacje Lorentza. Nowy wzór na transformacje prędkości. Rozwiązanie dylematu z prędkością światła. Zadanie z rakietami. Podsumowanie. Zapowiedź tematyki następnego spotkania fizyką.

 

 

 

1.     Wstęp.

 

W tym wykładzie omówię jeden z największych problemów, z jakimi zmagała się fizyka końca XIX w. i początku XX w. aż do czasu, gdy nikomu nieznany urzędnik biura patentowego w Brnie, Albert Einstein, w 1905 r. podał rozwiązanie, wywracając jednocześnie dotychczasowe wyobrażenia na temat własności czasu i przestrzeni. W jednej ze swoich późniejszych prac Einstein tak streścił ten okres w dziejach fizyki: „Rozwój teorii i kolejne wyniki doświadczeń sprawiły, że uczeni doszli do wniosku, iż światło w pustej przestrzeni porusza się zawsze z taką samą prędkością niezależnie od barwy światła i ruchu jego źródła ( zasada stałości prędkości światła[…]). Jednak z elementarnych i intuicyjnych rozważań natychmiast wynika, że światło nie może poruszać się z taką samą prędkością względem wszystkich inercjalnych układów odniesienia [...]. Okazuje się jednak, że ta sprzeczność jest tylko pozorna i wynika z przesądu, dotyczącego absolutnego charakteru czasu…”[1]

Aby poznać rozwiązanie zapowiedzianego w tytule problemu i zrozumieć głębię przytoczonej wypowiedzi Einsteina będziemy musieli odpowiedzieć sobie na kolejne  pytania: one zaprowadzą nas do wiedzy, która jest wstępem do jednej z najbardziej przełomowych i zarazem fascynujących teorii fizycznych, do teorii stworzonej przez Einsteina, nazwanej szczególną teoria względności. Życzę wytrwałości w tej przygodzie.

 

2.         Zadanie 1.

 

Dwa statki kosmiczne, lecące w pobliżu mgławicy NGC 7635 zaobserwowały asteroidę, poruszający się z ogromną prędkością na tle odległych gwiazd. Dokładne pomiary prędkości asteroidy wykonane przez statek „Niebieski zdobywca” wykazały, że ma ona względem niego prędkość u = 800 km/s. Statek „Żółty aster” obserwowany ze statku „Niebieski zdobywca” miał względem niego prędkość = 300 km/s. Jaką prędkość ma asteroida względem „Żółtego astra”?

 

 

Rys. 1. Między pomiarami prędkości tego samego obiektu dokonanymi przez różnych obserwatorów zachodzą związki zwane klasycznym prawem składania prędkości: u’=u-V.

 

Uwaga: Na wszystkich rysunkach kolorem żółtym oznaczono pomiary wykonane przez statek „Żółty…”, kolorem niebieskim – pomiary statku „Niebieski…”

 

Dane:                               Szukane:

V= 300 km/s                    u’ – prędkość asteroidy względem „Żółtego astra”

u= 800 km/s                              

Rozwiązanie:

Z klasycznego prawa składania prędkości mamy:

u’=u-V

Stąd obliczymy:

u’= 800 km/s - 300 km/s = 500 km/s

 

 

3.         Zadanie 2.

 

Ze statku kosmicznego „Niebieski zdobywca” został wysłany sygnał świetlny. Światło oddala się od nadawcy z prędkością u = 300 000 km/s. Jaką prędkość ma światło względem statku „Żółty aster”? Czy z tego zadania wynika, że światło ma ściśle określoną prędkość? Napisz wniosek.

Dane:                               Szukane:

V= 300 km/s                    u’ – prędkość światła względem „Żółtego astra”

u= 300 000 km/s                       

Rozwiązanie:

Z klasycznego prawa składania prędkości mamy:

u’=u-V

Stąd obliczymy:

u’= 300 000  km/s - 300 km/s = 299 700 km/s

 

Wniosek: Prędkość światła według klasycznej fizyki zależy od obserwatora.

 

 

Rys. 2. Prędkość sygnału świetlnego według klasycznej fizyki zależy od obserwatora.

 

4.         Doświadczenie przeczy klasycznemu prawu składania prędkości.

Paradoksalny wniosek.

 

Pomiary prędkości światła wysyłanego z obiektów poruszających się względem Ziemi wykazały, że prędkość światła względem obiektów emitujących światło jak i względem Ziemi była zawsze jednakowa i wynosiła 300 000 km/s, wbrew klasycznemu prawu składania prędkości. Z klasycznego prawa składania prędkości wynika bowiem, że prędkość światła powinna zależeć od prędkości obserwatora względem źródła światła: gdy obserwator oddala się od źródła, to prędkość światła zmierzona przez niego powinna być mniejsza niż prędkość światła względem źródła (porównaj zadanie 2); gdy obserwator zbliża się do źródła, to zmierzona przez niego prędkość światła powinna być większa niż prędkość światła względem źródła.[2]

 

5.         Postulat Einsteina.

 

Einstein zweryfikował założenia klasycznej fizyki, z której wynikały wnioski niezgodne z doświadczeniem dla dużych prędkości. Einstein przyjął jako postulat, że:

 

Prędkość światła jest względem każdego obserwatora taka sama i wynosi 300 000 km/s niezależnie od ruchu obserwatora względem źródła światła.

 

Na tym postulacie Einstein zbudował nową mechanikę, zwaną szczególną teorią względności, która między innymi odsłoniła nieznane wcześniej własności czasu i przestrzeni. Przekonamy się o tym analizując założenia fizyki, z których wynika klasyczne prawo składania prędkości.

 

6.         Transformacja Galileusza.

 

Załóżmy, że statki kosmiczne „Niebieski zdobywca” i „Żółty aster” mijając się zsynchronizowały swoje zegary i ustawiły na „zero” (rys. 3): t’ = t = 0

 

 

Rys. 3. Synchronizowanie zegarów przez statki w momencie mijania się.

 

Obserwując asteroidę mijającą gwiazdę A załogi statków wykonały pomiary: współrzędnej położenia [3] i czasu zajścia tego zdarzenia (rys. 4).

 

 

Rys. 4. Pomiary współrzędnej położenia i czasu zajścia zdarzenia Z1 – przelot asteroidy koło gwiazdy A.

 

Pytanie: Zakładając, że wiadomość o przelocie asteroidy koło gwiazdy dociera natychmiast do każdego statku napisz zależności między pomiarami obu statków [4] – tzn. między

 

 

 

Odp.: Między pomiarami zachodzą zależności typu (rys. 5 ):

 

 

 

 

 


Zależności te nazywamy transformacjami Galileusza. Pozwalają one obliczyć wyniki pomiarów współrzędnej położenia i czasu zajścia jakiegoś zdarzenia (np. przelot asteroidy koło gwiazdy A) otrzymane przez obserwatora ze statku „Żółty aster”, gdy znamy:

a)    pomiary otrzymane przez innego obserwatora, np. „Niebieski zdobywca”

b)    v - współrzędną wektora prędkości statku „Żółty…” w układzie współrzędnych statku „Niebieski…” [5]

Podkreślmy, że związki Galileusza są słuszne jedynie dla pomiarów dokonanych na tym samym zdarzeniu przez różnych obserwatorów.

 

 

Rys. 5. Pomiary położenia i czasu zajścia tego samego zdarzenia (tu: przelot asteroidy koło gwiazdy A) dokonane przez statki „Niebieski …” i „Żółty..” według klasycznej fizyki wiążą transformacje Galileusza.

 

Pytanie: Co to jest „zdarzenie”?

Odp.: Zdarzenie jest to zjawisko krótkotrwałe, zachodzące na niewielkim obszarze przestrzeni.[6]

 

Pytanie: Co to jest transformacja Galileusza?

Odp.: Transformacja Galileusza - to zależność między pomiarami współrzędnych położenia i czasu tego samego zdarzenia dokonanymi przez dwóch różnych obserwatorów, wprowadzona w klasycznej fizyce.

 

Pytanie: Jakie własności czasu zakłada transformacja Galileusza?

Odp.: W transformacjach Galileusza zakładamy, że czas zajścia tego samego zdarzenia jest taki sam dla dowolnych obserwatorów, niezależnie od ich prędkości względem obserwowanego zdarzenia (t’ = t).

 

7.         Pomiar prędkości.

 

Pytanie: Jak zmierzy współrzędną prędkości asteroidy statek „Niebieski zdobywca”, a jak statek „Żółty aster”?

Odp.: Współrzędną prędkości danego obiektu[7] mierzymy ilorazem przyrostu współrzędnej położenia do czasu zajścia tego przyrostu. Dlatego:

a). pomiar współrzędnej prędkości asteroidy, dokonany przez statek „Niebieski zdobywca” mógłby oprzeć się na pomiarach przyrostu współrzędnej położenia Dx i czasu Dt, w jakim ten przyrost nastąpił:

 

 

 

 

 


gdzie                          pomiary współrzędnych położenia i czasu przejścia asteroidy koło gwiazd A i B dokonane przez statek „Niebieski zdobywca”

b) podobnie współrzędną prędkości asteroidy zmierzoną przez statek „Żółty aster” wyrazi wzór:

 

 

 


gdzie                          pomiary współrzędnych położenia i czasu przejścia asteroidy koło gwiazd A i B dokonane przez statek „Niebieski zdobywca”

 

Rys. 6. Pomiary współrzędnej położenia i czasu zajścia zdarzenia Z2 - przelot asteroidy koło gwiazdy B dokonane przez statki „Niebieski…” i „Żółty...”, potrzebne do wyznaczenia współrzędnej prędkości asteroidy w ich układach współrzędnych .

 

8.         Wyprowadzenie klasycznego prawa składania prędkości.

 

Pytanie: Chcemy zmierzyć współrzędną prędkości asteroidy opierając się na obserwacji tych samych dwóch zdarzeń: Z1 – przelot asteroidy koło gwiazdy A, Z2 – przelot asteroidy koło gwiazdy B. Co będziemy mogli porównać dzięki temu, że wybierzemy te same zdarzenia?

Odp.: Pozwoli to nam porównać pomiary współrzędnych prędkości asteroidy (w tym samym fragmencie trajektorii przelatującej asteroidy!) dokonane przez oba statki – czyli będziemy mogli dokonać transformacji prędkości z jednego układu do drugiego.

 

Pytanie: Jakie związki zachodzę między pomiarami dokonanymi przez oba statki dla zdarzeń Z1 i Z2?

Odp.: Zachodzą związki dane transformacją Galileusza, tj.

 

 

 

 

Polecenie: Korzystając z zależności (2),(3), (4) napisz wzór na współrzędną prędkości u’ asteroidy mierzoną przez statek „Żółty…” wyrażoną przez pomiary wykonane przez statek „Niebieski...”. Następnie wykorzystaj wzór (1). Jaki związek otrzymasz? Napisz znaczenia symboli w otrzymanym wzorze.

Odp.: u’ = Dx’ / D t’ = [x2’-x1’] / [t2’-t1’] = [x2 – V*t2 – (x1 – V*t1)]/[ t2-t1] =

                  = [x2 – x1 – V*(t2– t1)]/[ t2-t1] = [x2 – x1]/[ t2-t1] – V   

Korzystając teraz ze wzoru (1) otrzymamy:

Pole tekstowe: u’ = u – V

 

 

czyli otrzymaliśmy klasyczne prawo składania prędkości, gdzie:

u’ – współrzędna wektora prędkości asteroidy mierzonej przez statek „Żółty…”

u  – współrzędna wektora prędkości asteroidy mierzona przez statek „Niebieski”

v  – współrzędna wektora prędkości statku „Żółty…” mierzona przez statek „Niebieski…”

 

Pytanie: Z jakiego podstawowego założenia wyprowadziliśmy klasyczne prawo składania prędkości?

Odp.: Klasyczne prawo składania prędkości wyprowadziliśmy z założenia, że pomiędzy pomiarami czasu i współrzędnej położenia tego samego zdarzenia zmierzonymi przez różnych obserwatorów zachodzą transformacje Galileusza.

 

9.         Niezwykle ważny wniosek dotyczący transformacji Galileusza i czasu.

 

Pytanie: Jaki wniosek wyciągniemy odnośnie transformacji Galileusza wiedząc, że klasyczne prawo składania prędkości nie jest słuszne dla światła?

Odp.: Ponieważ klasyczne prawo składania prędkości okazało się niesłuszne dla światła, a prawo to wynika z transformacji Galileusza, to same transformacje Galileusza muszą być niesłuszne.

 

*Pytanie [8]: Czas trwania obserwowanego zjawiska(np. czas przelotu asteroidy między gwiazdami A i B) mierzony jest różnicą czasu zajścia dwu zdarzeń – „początkowego” i „końcowego”? Co wynika z transformacji Galileusza odnośnie pomiaru trwania tego samego zjawiska, dokonanego przez dwu różnych obserwatorów?

Odp.: Ze wzorów (4) i (3) otrzymamy:       Dt’=t2’-t1’= t2-t1=Dt 

(5a)

 
Pole tekstowe: Dt’ = Dt                                                                                          

 

Czas trwania danego zjawiska jest dla dowolnego obserwatora taki sam.[9]

 

*Pytanie: Jaki wniosek wyciągniemy odnośnie zależności między odległością przebytą przez asteroidę według obu obserwatorów?

Odp.: Z wzorów (3) i (4)   wynika, że odległość przestrzenna zdarzeń dana jest zależnością:

Dx’ = x2’-x1’= x2-V*t2-(x1-V*t1)= x2- x1-V*(t1 -t1)=Dx-V*Dt     

(5b)

 
Pole tekstowe: Dx’ =Dx – V* Dt

 

 


*Pytanie: Prędkość światła (np. sygnału świetlnego przebiegającego między dwoma gwiazdami A i B) jest jednakowa dla każdego obserwatora, a więc słuszne są zależności:

 

Pole tekstowe: Dx’/Dt’ = cPole tekstowe: Dx/Dt = c               (6)

 

Czy jest możliwe spełnienie jednoczesne zależności (5) i (6)? Jaki wniosek dotyczący czasu można stąd wyciągnąć?

Odp.: Zależności (6) można spełnić przy jednoczesnym założeniu słuszności wzorów (5) jedynie wtedy, gdy Dt’= Dt  i Dx’ = Dx, czyli gdy obserwatorzy nie poruszają się względem siebie. W przypadku ruch obserwatorów względem siebie musimy przyjąć, że Dt’<> Dt  i  Dx’ < Dx, bo gwiazda B, do której zbliża się obserwator „Żółty” z większą prędkością niż zbliża się do niej „Niebieski” będzie od „Żółtego” w mniejszej odległości niż od „Niebieskiego”, a więc według „Żółtego” światło przebędzie mniejszą drogę..

 

Doszliśmy do niezwykłego stwierdzenia:

Jeśli prędkość światła jest jednakowa dla każdego obserwatora, a tak pokazują doświadczenia, to niesłuszne jest założenie, że czas trwania tego samego zjawiska, dokonany przez dwóch poruszających się względem siebie obserwatorów jest jednakowy, lecz:

 

czas trwania tego samego zjawiska jest różny dla obserwatorów poruszających się względem siebie Dt’<> Dt 

 

10.      Nowe transformacje - transformacje Lorentza.

 

Aby uczynić zadość postulatowi jednakowej prędkości światła trzeba zastosować inne transformacje – zamiast transformacji Galileusza transformacje Lorentza:

 

 

 

 

 

 

 

 

Transformacje Lorentza pozwalają obliczyć wyniki pomiarów współrzędnych położenia i czasu zajścia jakiegoś zdarzenia otrzymane przez obserwatora ze statku „Żółty …”, gdy znamy:

a)    pomiary otrzymane na innym statku, np. „Niebieski …”

b)    współrzędną v wektora prędkości statku „Żółty…” w układzie współrzędnych statku „Niebieski…”

 

 

Rys. 7. Pomiary współrzędnej położenia i czasu zajścia zdarzenia (tego samego) dokonane przez statki „Niebieski …” i „Żółty ...” według fizyki Einsteina wiążą transformacje Lorentza.

 

11.      Nowy wzór na transformacje prędkości

- wyprowadzenie wzoru analogicznie jak w punkcie 8.

 

Pytanie: Jakie związki zachodzę między pomiarami dokonanymi przez oba statki dla zdarzeń Z1 i Z2?

Odp.: Zachodzą związki dane transformacją Lorentza, tj.

 

 

 


Polecenie: Korzystając z zależności (2),(7),(8), (9) napisz wzór na współrzędną prędkości u’ asteroidy mierzoną przez statek „Żółty…” wyrażoną przez pomiary wykonane przez statek „Niebieski...”. Następnie podziel licznik i mianownik przez (t2-t1) i wykorzystaj wzór (1). Jaki związek otrzymasz? Objaśnij symbole.

Odp.:

u’ = Dx’ / D t’ = [x2’-x1’] / [t2’-t1’]

= [g(x2 – V*t2) – g(x1 – V*t1)] / [ g( t2 – v/c2*x2)t1) - g( t1 – v/c2*x1) ]

= [(x2 – x1) – V*(t2– t1)] / [ (t2-t1)- v/c2*(x2- x1)]

=[ (x2 – x1)/( t2-t1) – V] / 1- v/c2*(x2- x1)/( t2-t1)]

 
Korzystając z (1) otrzymamy ostatecznie:

(10)

 
 


 

 

 

czyli otrzymamy nowe, relatywistyczne prawo składania prędkości [10].

 

12.      Rozwiązanie dylematu z prędkością światła.

 

Polecenie: Oblicz zadania 1 i 2 wykorzystując relatywistyczne prawo transformacji prędkości. Wyciągnij wnioski.

a). Zadanie 1.

Dane:                                        Szukane:

V= 300 km/s                             u’ – prędkość asteroidy względem „Żółtego astra”

u= 800 km/s                              

Rozwiązanie:

Z relatywistycznego prawa składania prędkości mamy:

Otrzymaliśmy wynik zgodny z wynikiem klasycznej fizyki.

 

b). Zadanie 2.

Dane:                                        Szukane:

V= 300 km/s                             u’ – prędkość światła względem „Żółtego astra”

u= 300 000 km/s                       

Rozwiązanie:

Z relatywistycznego prawa składania prędkości mamy:

 

Prędkość światła względem obu statków jest jednakowa!

 

Wniosek:

Według fizyki Einsteina dany sygnał światła ma prędkość taką samą względem dowolnego obserwatora, równą „c”, co jest zgodnie z postulatem Einsteina o stałej prędkości światła.

 

2.         Zadanie „domowe” - z rakietami.

 

Dwa statki kosmiczne poruszają się naprzeciw siebie z prędkościami równymi 0.6 *c, mierzonymi przez stację kontroli lotów usytuowaną w kraterze Kopernicus, na asteroidzie. Oblicz, z jaką prędkością zbliża się jeden statek do drugiego. W tym wypadku wyznaczenie prędkości względnej statków kosmicznych ze wzoru (10 ) wymaga ścisłego uwzględnienia faktu, że u, u’, V oznaczają współrzędne odpowiednich wektorów prędkości w układach współrzędnych obserwatorów.

 

 

 

Rys. 8. Wyznaczenie prędkości względnej statków kosmicznych w tym wypadku ze wzoru (10 ) wymaga przyjęcia, że u, u’, V oznaczają współrzędne odpowiednich wektorów prędkości w ustalonych układach współrzędnych.

 

 

3.         Podsumowanie.

 

Postulat Einsteina o stałej prędkości światła stał się fundamentem, na którym oparł on konstrukcję myślową prowadzącą do rozwikłania niepokonalnego wcześniej dylematu klasycznej fizyki. Klasyczne fizyka oparta była na ideach dotyczących czasu i przestrzeni podanych przez Galileusza i Newtona. Wyrazem tych idei jest transformacja Galileusza. Jednak pomiary prędkości światła pokazały sprzeczność między przewidywaniami klasycznej fizyki a pomiarami prędkości światła. Einstein zastosował transformacje Lorentza, wyprowadził nowe prawo składania prędkości i pokazał, że prędkość światła jest wtedy w zgodzie z doświadczeniem – jednakowa dla każdego obserwatora. Einstein przewidział też między innymi niezwykłe własności czasu i przestrzeni, wynikające z postulatu stałej prędkości światła, a sprzeczne z naszym wyobrażeniem o czasie i przestrzeni. Te własności potwierdziła fizyka doświadczalna. Dowiemy się o nich w następnym wykładzie.

 

Paradoksy czasu i przestrzeni



[1] A. Einstein, Teoria względności i inne eseje, Warszawa 1997, str. 31.

[2] Prędkość światła jest taka sama we wszystkich układach inercjalnych i nie zależy od źródła względem Ziemi – pokazały to liczne doświadczenia, między innymi typu Michelsona – Morleya, w którym zamiast lampy była gwiazda  (por. M. Suffczyński, Elektrodynamika, Warszawa 1980, s. 309).

Liczne przykłady pomiaru niezależności prędkości światła od ruchu względnego obserwatora i źródła podaje np. A. Wróblewski, J. Zakrzewski, Wstęp do fizyki, tom 1, Warszawa 1976, str. 107 -116.

[3] Załóżmy dla skupienia uwagi, że obserwatorzy obiektom na prawo od nich przypisują współrzędnej położenia obiektu liczbę dodatnią, równą odległości obiektu od obserwatora (mierzoną między ustalonymi punktami), a obiektom na lewo od nich przypisują współrzędnej położenia obiektu liczbę ujemną, równą -1*odległość obiektu od obserwatora. Oznacza to w języku matematyki, że ustalamy dodatni zwrot osi współrzędnych w prawo od początku układu.

[4] Fizyka klasyczna milcząco zakłada, że czas zajścia danego zdarzenia jest czasem pokazywanym przez zegar umieszczony w początku układu odniesienia, równocześnie z zajściem tego zdarzenia, tak jakby wiadomość o zajściu zdarzenia natychmiast docierała do obserwatora (por. A. Einstein, Teoria względności i inne eseje, Warszawa 1997, str. 30).

[5] Symbol „v” w ogólnym przypadku ruchu obserwatorów oznacza współrzędną wektora prędkości obserwatora „promowanego” w układzie współrzędnych obserwatora „nieprimowanego”; można to uzasadnić rozpatrując inny przypadek ruchu: gdy obserwator „Żółty…” porusza się w lewo, to okaże się, że otrzymamy te same zależności, jak w wypisanych wyżej wzorach, gdy „v” jest liczbą ujemną, (a więc „v”  jest współrzędną wektora prędkości ).

 

 

[6] Podana tu definicja zdarzenia odwołuje się do obiektywnej sytuacji fizycznej, niezależnej od wprowadzonego opisu za pomocą współrzędnych czasoprzestrzennych; matematycznie zdarzenie można określić jako punkt w czasoprzestrzeni P(x,y,z,t).

[7] wzdłuż danej osi współrzędnych

[8] Pytanie to i dwa dalsze można pominąć bez szkody dla całości zasadniczego tematu.

[9] Powyższy fakt znany jest pod pojęciem absolutnego czasu.

[10] u’– współrzędna wektora prędkości asteroidy mierzonej przez statek „Żółty…”

u – współrzędna wektora prędkości asteroidy mierzona przez statek „Niebieski…”

V– współrzędna wektora prędkości statku „Żółty…” mierzona przez statek „Niebieski…”